: Cho lăng trụ ABC.A’B’C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, AC a√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa đường thẳng AA’ và đường thẳng B’C’?
Giúp mình vs ạ
: Cho lăng trụ ABC.A’B’C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điể
Share
a) $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC$
$=\dfrac{1}{2}a.a\sqrt3=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
$\Delta ABC\bot A\Rightarrow AH=\dfrac{BC}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{2}$
$=\dfrac{\sqrt{a^2+3a^2}}{2}=a$
$\Delta $ vuông $AA’H$: $A’H^2=AA’^2-AH^2$
$=4a^2-a^2=3a^2$
$\Rightarrow A’H=a\sqrt3$
$\Rightarrow V_{A’ABC}=\dfrac{1}{3}A’H.S_{ABC}$
$=\dfrac{1}{3}a\sqrt3.\dfrac{a^2\sqrt3}{2}=\dfrac{a^3}{2}$
b) $\widehat{(AA’,B’C’)}=\widehat{(BB’,BC)}=\widehat{B’BC}$
$\Delta A’B’H\bot A’$ có: $B’H^2=A’B’^2+A’H^2$
$=a^2+3a^2=4a^2$
$\Rightarrow B’H=2a=BB’$
$\Rightarrow \Delta BB’H$ cân đỉnh $B’$
$\Delta BB’H$ Gọi $I$ là trung điểm $BH$
$\Rightarrow BI=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}2a=\dfrac{a}{2}$
$\Delta B’BH$ vuông tại $H$
$\cos\widehat{B’BC}=\dfrac{BI}{BB’}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{2a}$
$=\dfrac{1}{4}$