Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC=30 độ và BC = a căn 5. Tính độ dài của các vectơ AB + vectơ BC, vectơ AC – vectơ BC và vectơ AB – vectơ AC. Bài 5: Cho tam giác

Bài 2:

Ta có: $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{BC}|=|\vec{AC}|=AC=a\sqrt5.\sin30^o=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

$\vec{AC}-\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{CB}=\vec{AB}$

$\Rightarrow |\vec{AC}-\vec{BC}|=|\vec{AB}|=AB=\sqrt{(a\sqrt5)^2-(\dfrac{a\sqrt5}{2})^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$\vec{AB}-\vec{AC}=-\vec{BA}-\vec{AC}=-\vec{BC}=\vec{CB}$

$\Rightarrow |\vec{AB}-\vec{AC}|=|\vec{CB}|=CB=a\sqrt5$

Bài 5:

Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CB$

$\Rightarrow \vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AI}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AI}|=2.AI$

Mà $\Delta $ vuông cân $ABC$: $2AC^2=AB^2=2a^2\Rightarrow AC=a$

$\Delta $ vuông $ACI$ với $AC=a, CI=\dfrac{a}{2}$

$AI=\sqrt{AC^2+CI^2}=\sqrt{a^2+(\dfrac{a}{2})^2}=\dfrac{a\sqrt5}{2}$

$|\vec{AB}+\vec{AC}|=\sqrt5$

Bài 6:

a) $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}=2\vec{AO}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AO}|=2.AO$

Ta có: $\Delta ABD$ đều (vì $AB=AD\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh $A$ lại có $\widehat A=60^o$)

$\Rightarrow BD=AB=a\Rightarrow BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a}{2}$

$\Delta ABO$:

$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac{a}{2})^2}=\sqrt{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AO}|=2.AO=a\sqrt3$

b) $\vec{BA}-\vec{BC}=-\vec{AB}-\vec{BC}=-\vec{AC}=\vec{CA}$

$\Rightarrow |\vec{BA}-\vec{BC}|=|\vec{CA}|=CA=2AO=a\sqrt3$

c) Gọi $J$ là trung điểm cạnh $OC$

$\vec{OB}+\vec{DC}=\vec{DO}+\vec{DC}=2\vec{DJ}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Delta$ vuông $ODI$: $DI=\sqrt{DO^2+IO^2}=\sqrt{DO^2+(\dfrac{OC}{2})^2}=\sqrt{(\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt3}{4})^2}=\dfrac{a\sqrt7}{4}$

d) Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$

$\vec{OA}+\vec{OB}=2\vec{OE}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{OA}+\vec{OB}|=|2\vec{OE}|=2.OE$

$\Delta ABD$ có $E$ là trung điểm cạnh $AB$ và $O$ là trung điểm cạnh $BD$

$\Rightarrow EO$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow EO=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow |\vec{OA}+\vec{OB}|=a$

Bài 7: 

a) $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}=2\vec{AO}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AO}|=2.AO$

Ta có: $\Delta ABD$ đều (vì $AB=AD\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh $A$ lại có $\widehat A=60^o$)

$\Rightarrow BD=AB=a\Rightarrow BO=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a}{2}$

$\Delta ABO$:

$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac{a}{2})^2}=\sqrt{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow |\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AO}|=2.AO=a\sqrt3$

c) Gọi $J$ là trung điểm cạnh $OC$

$\vec{OB}+\vec{DC}=\vec{DO}+\vec{DC}=2\vec{DJ}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Delta$ vuông $ODI$:

$DI=\sqrt{DO^2+IO^2}=\sqrt{DO^2+(\dfrac{OC}{2})^2}=\sqrt{(\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt3}{4})^2}=\dfrac{a\sqrt7}{4}$