Tìm m để hàm y=1/3x^3-mx^2+(m^2-4)x+3 đạt cực đại tại x=3

Lời giải chi tiết

Ta có $y’=x^2-2mx+m^2-4$ và $y”=2x-2m$.

Để hàm số đạt cực đại tại $x=3$, trước hết cần có $y'(3)=0$. Do đó:

$9-6m+m^2-4=0\Leftrightarrow m^2-6m+5=0\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=5$.

Xét đạo hàm bậc hai tại $x=3$: $y”(3)=6-2m$.

• Với $m=1$, $y”(3)=4>0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.
• Với $m=5$, $y”(3)=-4<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$.

Vậy $m=5$.

Kiến thức cần nhớ

• Nếu hàm số đạt cực trị tại $x_0$ và có đạo hàm tại đó thì $y'(x_0)=0$.
• Nếu $y'(x_0)=0$ và $y”(x_0)<0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.

Lỗi thường gặp

• Chỉ giải $y'(3)=0$ rồi nhận cả $m=1$ và $m=5$, mà không kiểm tra loại cực trị.