Chứng minh các khẳng định sau:
a) Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
b) Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Đáp án:
a) Hai vectơ $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ đối nhau khi và chỉ khi $I$ là trung điểm của $AB$.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$; điều kiện đã cho tương đương $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}$, tức $G$ là trọng tâm.
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện để $I$ là trung điểm của $AB$.
Nếu $I$ là trung điểm của $AB$ thì $IA=IB$ và hai tia $IA$, $IB$ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ là hai vectơ đối nhau, suy ra $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.
Ngược lại, nếu $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Vì vậy $IA=IB$ và $I$ nằm giữa $A$, $B$. Suy ra $I$ là trung điểm của $AB$.
b) Điều kiện để $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo kết quả câu a), $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:
$$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}.$$
Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{0}$, hay $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}$.
Đẳng thức $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}$ có nghĩa là $A$, $G$, $M$ thẳng hàng, $G$ nằm giữa $A$ và $M$, đồng thời $AG=2GM$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, $AM$ là đường trung tuyến; $G$ chia trung tuyến đó theo tỉ số $AG:GM=2:1$. Đây chính là điều kiện để $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Vậy hai chiều của khẳng định đều đúng.
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
a)
Chứng minh I là trung điểm của AB thì $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$?
Cho đoạn AB có I là trung điểm của đoạn AB suy ra IA=IB và tia IA và tia IB là hai tia đối nhau
nên $\vec {IA}$ và $\vec {IB}$ là hai vec tơ đối nhau,
suy ra $\vec{IA}=-\vec{IB}$
$\Rightarrow\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0$ (đpcm)
Ngược lại chứng minh nếu $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$ thì $I$ là trung điểm của AB?
Ta có $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0\Rightarrow\vec{IA}=-\vec{IB}\Rightarrow\vec {IA}$ và $\vec{IB}$ là hai vec tơ đối nhau nên IA=IB và I nằm giữa A và B
$\Rightarrow I$ là trung điểm của AB (đpcm).
b)
Chứng minh $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ thì $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$?
Xét $\Delta ABC$ có $AI$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm, $D$ đối xứng với $A$ qua $G$
Tứ giác $BGCD$ có hai đường chéo $BC, GD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $BGCD$ là hình bình hành
$\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)
$\vec{GA}+\vec{GD}=\vec0$ (do D đối xứng với A qua G hay G là trung điểm của AD) (2)
Cộng hai vế của phương trình (1) với $\vec{GA}$, sau đó sử dụng (2)
$\Rightarrow \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0$ (đpcm)
Ngược lại:
Chứng minh nếu $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$?
Xét $\Delta ABC$, vẽ hình bình hành $BGCD$, gọi $BC\cap GD$ tại $I\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo. Hay I là trung điểm của GD, $GD=2GI$ (*)
Ta có: $\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)
Lại có $\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec 0$ (giả thiết) (2)
Thay (1) vào (2) $\Rightarrow\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0\Rightarrow G$ là trung điểm của AD, AG=GD (**)
Từ (*) và (**) $AG=2GI$, G là trung điểm của AD nên G chia AD thành hai đoạn bằng nhau AG, GD, $I\in GD$ nên $I$ không thuộc AG
$\Rightarrow AG=2GI$ thì G nằm giữa AI
$\Rightarrow AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm (vì I là trung điểm của BC nên AI là trung tuyến cm ở (*)) (đpcm)