tính vectơ pm, pn theo ab, ac và chứng minh m, n, p thẳng hàng

Lời giải chi tiết

a) Tính các vectơ

Vì $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ nên $2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$. Do đó $\overrightarrow{BM}=-3\overrightarrow{MC}=\dfrac32\overrightarrow{BC}$.

$P$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{PA}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}$. Theo quy tắc cộng vectơ,

$$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\dfrac32\overrightarrow{BC}.$$

Thay $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, ta được

$$\overrightarrow{PM}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac32\overrightarrow{AC}.$$

Mặt khác, $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{AC}$. Kết hợp với $\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{CN}$, suy ra $\overrightarrow{CN}=-\dfrac14\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{NA}=\dfrac34\overrightarrow{AC}$.

Vậy

$$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}.$$

b) Chứng minh thẳng hàng

Từ kết quả câu a), $\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PN}$. Hai vectơ $\overrightarrow{PM}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng phương, cùng gốc $P$, nên $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

• Quy tắc cộng vectơ: $\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$.
• Nếu $P$ là trung điểm của $AB$ thì $\overrightarrow{PA}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}$.
• Hai vectơ cùng gốc, cùng phương thì các điểm đầu và gốc của chúng thẳng hàng.

Lỗi thường gặp

• Nhầm dấu khi đổi chiều vectơ, chẳng hạn $\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{CM}$.
• Cho rằng $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$ dẫn đến $\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{BC}$.