Lập bảng biến thiên, vẽ parabol và tìm m theo điều kiện giao điểm với đường thẳng

Lời giải chi tiết

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Ta có $y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$. Vì hệ số của $(x-2)^2$ âm nên parabol quay bề lõm xuống, có đỉnh $I(2;1)$ và trục đối xứng $x=2$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty)$ và đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ tại $x=2$.

Để vẽ $(P)$, đánh dấu đỉnh $I(2;1)$ và các điểm $(0;-3)$, $(1;0)$, $(3;0)$, $(4;-3)$, rồi vẽ đường parabol đi qua các điểm đó, đối xứng qua đường thẳng $x=2$.

b) Xác định $m$

Vì $d$ có hệ số góc bằng $1$ và đi qua $M(m;-3)$ nên phương trình của $d$ là $y=x-m-3$.

Hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình $-x^2+4x-3=x-m-3$, hay $x^2-3x-m=0$. Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi phương trình này có hai nghiệm phân biệt, tức là $\Delta=9+4m>0$, suy ra $m>-\dfrac94$.

Theo hệ thức Viète, $x_1+x_2=3$ và $x_1x_2=-m$. Do đó $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9+2m$. Điều kiện đề bài cho $9+2m=9$, suy ra $m=0$.

Giá trị $m=0$ thỏa mãn $m>-\dfrac94$. Khi ấy phương trình hoành độ giao điểm là $x^2-3x=0$, có hai nghiệm phân biệt $x=0$ và $x=3$. Vậy $m=0$.

Kiến thức cần nhớ

• Viết hàm số bậc hai dưới dạng $y=a(x-x_I)^2+y_I$ để xác định đỉnh và trục đối xứng.
• Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
• Với hai nghiệm $x_1$, $x_2$, ta có $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

Lỗi thường gặp

• Quên kiểm tra điều kiện hai giao điểm phân biệt sau khi tìm được $m$.
• Nhầm dấu trong hệ thức Viète: với $x^2-3x-m=0$ thì $x_1x_2=-m$.