Cho tam giác ABC có AB=5,BC=7,AC=8 a) Tính vectơ AB.AC, rồi suy ra giá trị của góc A b) Tính vectơ CA.CB c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD=3.Tính vectơ CD.CB

Đáp án: a) $\vec{AC}.\vec{AB}=20$ và $\widehat A=60^o$

                b) $\vec{CA}.\vec{CB}=44$

                c) $\vec{CD}.\vec{CB}=\dfrac{33}{2}$

Giải thích các bước giải:

a) Ta  có: $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$

$\Rightarrow (\vec{BC})^2=(\vec{AC}-\vec{AB})^2$

$\Rightarrow BC^2=AC^2-2\vec{AC}.\vec{AB}+AB^2$

$\Rightarrow \vec{AC}.\vec{AB}=\dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2}=\dfrac{8^2+5^2-7^2}{2}=20$

$\Rightarrow \cos \widehat A=\dfrac{\vec{AC}.\vec{AB}}{AC.AB}=\dfrac{20}{8.5}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat A=60^o$

b) $\vec{BA}=\vec{CA}-\vec{CB}$

$\Rightarrow (\vec{BA})^2=(\vec{CA}-\vec{CB})^2$

$\Rightarrow BA^2=CA^2-2\vec{CA}.\vec{CB}+CB^2$

$\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB}=\dfrac{CA^2+CB^2-BA^2}{2}=\dfrac{8^2+7^2-5^2}{2}=44$

c) Ta có $CD=3\Rightarrow AD=AC-CD=8-3=5=AB$

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh $A$ có $\widehat A=60^o$

$\Rightarrow \Delta ABD$ đều

$\Rightarrow BD=5$

Ta có: $\vec{BD}=\vec{CD}-\vec{CB}$

$\Rightarrow (\vec{BD})^2=(\vec{CD}-\vec{CB})^2$

$\Rightarrow BD^2=CD^2-2\vec{CD}.\vec{CB}+CB^2$

$\Rightarrow \vec{CD}.\vec{CB}=\dfrac{CD^2+CB^2-BD^2}{2}=\dfrac{3^2+7^2-5^2}{2}=\dfrac{33}{2}$