Tìm giá trị nhỏ nhất A=x^2+5y^2+2xy-2y+2005

Ta có

$A = x^2 + 2xy + y^2 + 4y^2 – 2y + 2005$

$= (x+y)^2 + (2y)^2 – 2.2y.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{8019}{4}$

$= (x+y)^2 + (2y-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{8019}{4} \geq \dfrac{8019}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x + y = 0$ và $2y – \dfrac{1}{2} = 0$ hay $y = \dfrac{1}{4}$ và $x = -\dfrac{1}{4}$.

Vậy GTNN của A là $\dfrac{8019}{4}$, đạt được khi $(x,y) = (\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{4}$.