giải phương trình lựong giác: 8sinx= (căn3) /cosx + 1/sinx

Đáp án:

$x=\dfrac{\pi}6+k\pi$ và $x= -\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}2$ $(k\in\mathbb Z)$

Lời giải:

$8\sin x=\dfrac{\sqrt3}{\cos x}+\dfrac1{\sin x}$

$\Rightarrow 8\sin x=\dfrac{\sqrt3\sin x+\cos x}{\cos x\sin x}$

Đk: $\cos x.\sin x\ne0\Leftrightarrow \sin2x\ne0$

$\Rightarrow 4\sin x.\sin2x=\sqrt3 \sin x +\cos x$

$\Leftrightarrow 2(\cos x-\cos3x)=\sqrt3\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow \dfrac12.\cos x-\dfrac{\sqrt3}2\sin x=\cos3x$ (1)

$\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12; \sin\dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2$

Thay vào (1)

$\cos\dfrac{\pi}3.\cos x-\sin\dfrac{\pi}3.\sin x=\cos3x$

$\cos\left({x+\dfrac{\pi}3}\right)=\cos3x$

$\Leftrightarrow  3x=x+\dfrac{\pi}3+2k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}6+k\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

(thỏa mãn đk)

Hoặc $3x=-x-\dfrac{\pi}3+2k\pi\Leftrightarrow x= -\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}2$ $(k\in\mathbb Z)$

(thỏa mãn đk)

Vậy phương trình có nghiệm:

$x=\dfrac{\pi}6+k\pi$ và $x= -\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}2$ $(k\in\mathbb Z)$.