Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang ABCD (AB//CD) , biết A(1,-1,1),B(3,1,2),D(-1,0,3) và góc BCD = 45 độ. xác định tọa độ đỉnh C ? Gợi ý cách làm cũng đượ

Gọi tọa độ đỉnh C là (x,y,z).
Ta có
$$\vec{AB} = (2, 2, 1), \vec{DC} = (x+1, y, z-3), \vec{BC} = (x-3, y-1, z-2).$$
Do AB // CD nên ta có tỷ lệ
$$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-3}{1}$$
Từ tỷ lệ này ta suy ra
$$\begin{cases}
x = 2z – 7\\
y = 2z – 6
\end{cases}$$
Vậy $\vec{BC} = (2z-10, 2z-7, z-2)$.
Do AB//CD nên $(\widehat{(AB,BC)} = 45^{\circ}$.
Mặt khác, ta có
$$\cos (\widehat{(AB,BC)}) = \cos (45^{\circ}) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{AB}|.|\vec{BC}|}$$
Ta có
$$\begin{cases}
\vec{AB} . \vec{BC} = 2(2z-10) + 2(2z-7) + (z-2) = 9z -36\\
|\vec{AB}| = \sqrt{9}, |\vec{BC}| = \sqrt{9z^2 -72z + 153}
\end{cases}$$
Thay vào đăng thức của cos, nhân chéo lên ta có
$$3 . \sqrt{9z^2 -72z + 153} = \sqrt{2}(9z-36)$$
DK: $9z \geq 36$ hay $z \geq 4$.
Bình phương 2 vế lên ta có
$$9(9z^2 -72z + 153) = 2(81z^2 -648z + 1296)$$
Phá ngoặc ta có ptrinh tương đương vs
$$81z^2 -648z +1215 = 0$$
Nghiệm của ptrinh là $z = 5$ hoặc $z = 3$. Ta thấy chỉ có nghiệm $z=5$ thỏa mãn.
Vậy $C(0,3,3)$.