Cho hai điểm A(5;1) và B(-1;5) trong hệ toạ độ Oxy. Chứng minh tam giác AOB vuông cân. Tính chu vi và diện tích tam giác AOB

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{OA}=(5;1)$ và $\overrightarrow{OB}=(-1;5)$.

Vì $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=5\cdot(-1)+1\cdot5=0$ nên $OA\perp OB$. Do đó tam giác $AOB$ vuông tại $O$.

Độ dài hai cạnh góc vuông là $OA=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$ và $OB=\sqrt{(-1)^2+5^2}=\sqrt{26}$. Vậy tam giác $AOB$ vuông cân tại $O$.

Theo định lí Pythagore, $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Chu vi tam giác là $P=OA+OB+AB=2\sqrt{26}+2\sqrt{13}$.

Diện tích tam giác là $S=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot26=13$.

Kiến thức cần nhớ

• Hai vectơ khác vectơ không có tích vô hướng bằng $0$ thì vuông góc.
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân.
• Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $OA=\sqrt{26}$ với $OA=26$ khi tính chu vi.
• Quên hệ số $\dfrac{1}{2}$ khi tính diện tích tam giác vuông.