Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=AB=a$. Gọi $N$ là trung điểm của $SD$. Đường thẳng $AN$ hợp với mặt đáy $(ABCD)$ một góc $30^\circ$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.
tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Share
Đáp án:
Ta có $AD=a\sqrt{3}$. Vậy thể tích khối chóp là $V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải chi tiết
Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Trong tam giác $SAD$, vì $N$ và $H$ lần lượt là trung điểm của $SD$ và $AD$ nên $NH$ là đường trung bình. Do đó $NH\parallel SA$ và $NH=\dfrac{SA}{2}=\dfrac{a}{2}$.
Vì $SA\perp(ABCD)$ và $NH\parallel SA$ nên $NH\perp(ABCD)$. Suy ra $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên mặt đáy, còn $AH$ là hình chiếu của $AN$ lên mặt đáy. Vậy $\widehat{NAH}=30^\circ$.
Xét tam giác vuông $ANH$ tại $H$:
$\tan 30^\circ=\dfrac{NH}{AH}$, nên $AH=\dfrac{a/2}{\tan 30^\circ}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vì $H$ là trung điểm của $AD$ nên $AD=2AH=a\sqrt{3}$. Diện tích đáy là $S_{ABCD}=AB\cdot AD=a^2\sqrt{3}$.
Chiều cao của khối chóp là $SA=a$. Do đó:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SA=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot a=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
Đáp án: $V_{ABCD}=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$
Giải thích các bước giải:
$\Delta SAD$ dựng $NH\bot AD$
Ta có: $N$ là trung điểm của $SD$
và $NH\parallel SA(\bot AD)$
$\Rightarrow NH$ là đường trung bình $\Delta SAD$
$\Rightarrow NH=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}$
và $H$ là trung điểm cạnh $AD$
$\Rightarrow AD=2AH$
Ta có: $\widehat{(AN,(ABCD))}=\widehat{(AN,AH)}=\widehat{NAH}=30^o$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ANH$
$\tan\widehat{NAH}=\dfrac{NH}{AH}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{NH}{\tan\widehat{NAH}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\tan 30^o}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow AD=2AH=a\sqrt3$
$\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}SA.AB.AD$
$=\dfrac{1}{3}a.a.a\sqrt3=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$