Home/ Questions/Q 1270
Next
Answered
duonghuyen
duonghuyen

duonghuyen

View Profile
  • 0
Asked: 2020-11-17T19:08:00+00:00 In: ,

chứng minh ba đẳng thức vectơ trong tam giác có trọng tâm và điểm đối xứng

  • 0

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $G$. Chứng minh:

  1. $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
  2. $\overrightarrow{CH}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
  3. $\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.
Share

    2 Answers

    1. Best Answer

      Đáp án:

      a) $\overrightarrow{AH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

      b) $\overrightarrow{CH}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

      c) $\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.

      Lời giải chi tiết

      Vì $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, nên $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

      a) Do $H$ đối xứng với $B$ qua $G$, điểm $G$ là trung điểm của $BH$. Suy ra $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{BG}$. Theo quy tắc cộng vectơ, $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AG}$. Vậy

      $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

      b) Theo quy tắc cộng vectơ, $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}$. Thay kết quả câu a), ta được

      $\overrightarrow{CH}=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

      c) Theo quy tắc cộng vectơ, $\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}$. Do đó

      $\overrightarrow{MH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.

      Kiến thức cần nhớ

      • Nếu $M$ là trung điểm của $BC$ thì $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.
      • Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
      • Nếu $H$ đối xứng với $B$ qua $G$ thì $\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{BG}$.

      Lỗi thường gặp

      • Nhầm chiều vectơ: $\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{GB}$.
      • Khi tính $\overrightarrow{MH}$, nhầm $\overrightarrow{MA}$ với $\overrightarrow{AM}$.
      • 0

    2. a)

      $\begin{array}{l} \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BH} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BN} \\ = \overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\left( { – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} = – \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}$

      b)

      $\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {AH} – \overrightarrow {AC} = – \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AC} = – \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} $

      c)

      Ta có:

      $\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB} + 2\overrightarrow {BG} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right) + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BN} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{2}{3}\left( { – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\ = – \dfrac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{6}\left( { – 5\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \end{array}$

      • 0