Giải hệ phương trình : $\begin{cases}3xy-5y^2-12(x-y)=11\\x^2-9xy+8=4\end{cases}$

Lời giải chi tiết

Từ phương trình thứ hai, ta có $x^2-9xy+4=0$. Vì $x=0$ không thỏa mãn phương trình này nên $x\ne0$ và

$$y=\frac{x^2+4}{9x}.$$

Thế vào phương trình thứ nhất rồi nhân hai vế với $81x^2$, ta được

$$22x^4-864x^3-823x^2+432x-80=0.\qquad (*)$$

Để xác định số nghiệm thực của $(*)$, xét hai trường hợp:

• Với $x>0$: Ta viết $(*)$ thành
  $$22x-864=\frac{823x^2-432x+80}{x^3}.$$
  Vì $823x^2-432x+80$ luôn dương nên $x>\frac{432}{11}$. Trên khoảng này, vế trái tăng theo $x$, còn vế phải giảm theo $x$; do đó có nhiều nhất một nghiệm dương. Thay $x=40$ và $x=41$ vào vế trái của $(*)$ cho hai giá trị trái dấu, nên có đúng một nghiệm dương, kí hiệu là $x_+$.
• Với $x<0$: Đặt $t=-x>0$. Phương trình $(*)$ trở thành
  $$22t+864=\frac{823}{t}+\frac{432}{t^2}+\frac{80}{t^3}.$$
  Vế trái tăng, vế phải giảm theo $t$, nên có nhiều nhất một nghiệm $t>0$. Thay $t=1$ và $t=2$ vào phương trình bậc bốn tương ứng cho hai giá trị trái dấu, nên có đúng một nghiệm, kí hiệu là $t_-$.

Tính gần đúng được $x_+\approx40{,}191$, $t_-\approx1{,}334$. Với mỗi giá trị $x$, thay vào $y=\dfrac{x^2+4}{9x}$, suy ra hai nghiệm của hệ:

$$\boxed{(x;y)\approx(-1{,}334;-0{,}481)\quad\text{hoặc}\quad(x;y)\approx(40{,}191;4{,}477).}$$

Chính xác, nghiệm thứ nhất có $x=-t_-$, nghiệm thứ hai có $x=x_+$, trong đó $t_-$ là nghiệm duy nhất của phương trình theo $t$ ở trên và $x_+$ là nghiệm dương duy nhất của $(*)$; tung độ của mỗi nghiệm bằng $\dfrac{x^2+4}{9x}$.

Kiến thức cần nhớ

• Khi chia cho biểu thức chứa ẩn, cần kiểm tra trường hợp biểu thức đó bằng $0$.
• Phương pháp thế giúp đưa hệ hai ẩn về một phương trình một ẩn.
• So sánh một hàm tăng với một hàm giảm có thể giúp xác định tính duy nhất của nghiệm trên một khoảng.

Lỗi thường gặp

• Chia cho $x$ mà không kiểm tra trường hợp $x=0$.
• Chỉ tìm nghiệm gần đúng mà không kiểm tra phương trình còn nghiệm thực khác hay không.