Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thõa điều kiện (m-2)x²-(m-4)x-2=0 thõa x1/x2+x2/x1=9/2

Lời giải chi tiết

Để phương trình là phương trình bậc hai, cần $m\ne 2$. Khi đó, theo hệ thức Viète:

$$x_1+x_2=\frac{m-4}{m-2},\qquad x_1x_2=\frac{-2}{m-2}\ne 0.$$

Vì $x_1x_2\ne 0$, điều kiện về tỉ số tương đương với

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}
=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}
=\frac{9}{2}.$$

Do đó $\dfrac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=\dfrac{13}{2}$. Thay các biểu thức Viète vào, ta được

$$-\frac{(m-4)^2}{2(m-2)}=\frac{13}{2}
\quad\Longleftrightarrow\quad
(m-4)^2+13(m-2)=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
m^2+5m-10=0.$$

Giải phương trình theo $m$, ta có $m=\dfrac{-5+\sqrt{65}}{2}$ hoặc $m=\dfrac{-5-\sqrt{65}}{2}$.

Hai giá trị này đều khác $2$. Hơn nữa, biệt thức của phương trình theo $x$ là $\Delta=(m-4)^2+8(m-2)=m^2>0$ vì cả hai giá trị tìm được đều khác $0$. Vậy với mỗi giá trị $m$ trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt, khác $0$ và thỏa mãn điều kiện đã cho.

Đáp số: $m=\dfrac{-5\pm\sqrt{65}}{2}$.

Kiến thức cần nhớ

• Trước khi áp dụng hệ thức Viète cho phương trình bậc hai, cần kiểm tra hệ số của $x^2$ khác $0$.
• Nếu $x_1x_2\ne 0$ thì $\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2$.
• Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi biệt thức $\Delta>0$.

Lỗi thường gặp

• Quên điều kiện $m\ne 2$ nên áp dụng hệ thức Viète khi phương trình không còn là bậc hai.
• Chỉ giải điều kiện về tỉ số mà không kiểm tra phương trình có hai nghiệm khác $0$.