tìm x, y, z thỏa mãn 7x = 3y, 5y = 7z và xy + xz – yz = 4

Đáp án ngắn: $(x;y;z) = (6;14;10)$ hoặc $(x;y;z) = (-6;-14;-10)$

Lời giải chi tiết

Bước 1: Biểu diễn x, z theo y

Từ $7x = 3y \Rightarrow x = \dfrac{3y}{7}$

Từ $5y = 7z \Rightarrow z = \dfrac{5y}{7}$

Bước 2: Thay vào biểu thức $xy + xz – yz = 4$

$\dfrac{3y}{7}\cdot y + \dfrac{3y}{7}\cdot\dfrac{5y}{7} – y\cdot\dfrac{5y}{7} = 4$

Quy đồng mẫu số 49:

$\dfrac{21y^2}{49} + \dfrac{15y^2}{49} – \dfrac{35y^2}{49} = 4$

$\dfrac{(21+15-35)y^2}{49} = 4 \Rightarrow \dfrac{y^2}{49} = 4$

Bước 3: Giải phương trình

$y^2 = 196 \Rightarrow y = \pm 14$

Trường hợp 1: $y = 14$

$x = \dfrac{3 \times 14}{7} = 6$ và $z = \dfrac{5 \times 14}{7} = 10$

Trường hợp 2: $y = -14$

$x = \dfrac{3 \times (-14)}{7} = -6$ và $z = \dfrac{5 \times (-14)}{7} = -10$

Kiểm tra lại: với $(x;y;z)=(6;14;10)$: $xy + xz – yz = 6\times14 + 6\times10 – 14\times10 = 84 + 60 – 140 = 4$ ✓

Với $(x;y;z)=(-6;-14;-10)$: khi đổi dấu đồng thời cả ba biến, mỗi tích $xy$, $xz$, $yz$ đều không đổi (vì tích của hai số âm bằng tích của hai số dương tương ứng), nên biểu thức $xy+xz-yz$ vẫn giữ nguyên giá trị 4. Vậy bộ nghiệm âm cũng thỏa mãn.

Kiến thức cần nhớ

Dạng toán này sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thông qua tỉ lệ thức: từ các đẳng thức tích như $7x=3y$, $5y=7z$, ta biểu diễn hai biến còn lại theo một biến chung (ở đây là $y$), sau đó thay vào biểu thức điều kiện để đưa về phương trình một ẩn dạng $y^2 = k$ (với $k>0$), từ đó suy ra $y = \pm\sqrt{k}$.

Lưu ý: khi $y^2 = k$ với $k>0$, luôn có hai nghiệm đối nhau $y = \sqrt{k}$ và $y = -\sqrt{k}$, cần xét đủ cả hai trường hợp và ghi lại nghiệm tương ứng của x, z.

Lỗi thường gặp

• Quên xét trường hợp $y$ âm khi giải $y^2 = 196$, chỉ lấy nghiệm dương $y=14$ mà bỏ sót $y=-14$.
• Quy đồng mẫu số sai khi cộng trừ các phân số $\dfrac{3y^2}{7}$, $\dfrac{15y^2}{49}$, $\dfrac{5y^2}{7}$ dẫn đến hệ số của $y^2$ bị tính nhầm.
• Không thay ngược lại nghiệm $y$ vừa tìm được để tính $x$ và $z$ tương ứng, dẫn đến thiếu nghiệm hoặc nhầm dấu.
• Quên kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào biểu thức gốc $xy+xz-yz=4$ để xác nhận đáp số đúng, kể cả với nghiệm âm.

Bài tập tương tự

Bài tương tự: Tìm x, y, z biết $3x = 2y$, $4y = 3z$ và $xy + xz – yz = 2$. (Gợi ý: đặt $x = \dfrac{2y}{3}$, $z = \dfrac{4y}{3}$, thay vào biểu thức được $\dfrac{2y^2}{9} = 2 \Rightarrow y^2 = 9$, từ đó suy ra hai bộ nghiệm đối nhau. Đáp số: $(x;y;z) = (2;3;4)$ hoặc $(-2;-3;-4)$.)