Toán 9

Lời giải chi tiết

Vì $HI\perp AC$, $HK\perp CB$ và $AC\perp CB$ nên tứ giác $CIHK$ là hình chữ nhật. Do đó $IK=CH$.

a) Tính $IK$. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông $ABC$:

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\text{cm}$.

Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách, ta có $AC\cdot BC=AB\cdot CH$. Suy ra

$IK=CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8\,\text{cm}$.

b) Chứng minh hệ thức. Từ các tam giác đồng dạng $\triangle CHI\sim\triangle BCA$ và $\triangle CHK\sim\triangle ABC$, ta có

$\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{CH}{AB}=\dfrac{CK}{CA}$.

Nhân với $CA\cdot CB$ và dùng $CH=\dfrac{CA\cdot CB}{AB}$, suy ra

$CA\cdot CI=CB\cdot CK=\dfrac{CA\cdot CB\cdot CH}{AB}=CH^2$.

Trong tam giác vuông $ABC$, hệ thức lượng về đường cao cho $AH\cdot HB=CH^2$. Vậy

$CA\cdot CI=CB\cdot CK=AH\cdot HB=4{,}8^2=23{,}04\,\text{cm}^2$.

c) Chứng minh hai góc bù nhau. Hệ thức $\dfrac{CI}{CB}=\dfrac{CK}{CA}$ ở trên cho thấy hai tam giác vuông $CIK$ và $CBA$ đồng dạng. Vì thế $\angle CIK=\angle CBA=\angle B$.

Hai tia $IA$ và $IC$ đối nhau nên $\angle AIK+\angle CIK=180^\circ$. Vậy $\angle AIK+\angle B=180^\circ$.

d) Chứng minh $CM$ là đường trung tuyến. Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác vuông $ABC$, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh, nên $CN=AN$. Do đó $\angle ACN=\angle CAN=\angle A$.

Theo câu c, $\angle AIK=180^\circ-\angle B$. Vì $A$, $I$, $C$ thẳng hàng, góc giữa $IK$ và $CA$ bằng $180^\circ-\angle B$, còn góc giữa $CN$ và $CA$ bằng $\angle A$. Hiệu hai góc ấy là $180^\circ-(\angle A+\angle B)=90^\circ$. Suy ra $CN\perp IK$.

Qua $C$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $IK$, nên $CN$ trùng với $CM$. Vì $M,N$ cùng thuộc $AB$, ta có $M=N$. Vậy $AM=MB$, tức $CM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Kiến thức cần nhớ

• Trong tam giác vuông: $AB^2=AC^2+BC^2$ và $AH\cdot HB=CH^2$.
• Diện tích tam giác vuông cho hệ thức $AC\cdot BC=AB\cdot CH$.
• Trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cách đều ba đỉnh.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $IK$ với một cạnh của hình chữ nhật $CIHK$; $IK$ và $CH$ là hai đường chéo nên bằng nhau.
• Nhầm $\angle AIK$ với $\angle CIK$; hai góc này bù nhau vì $IA$ và $IC$ là hai tia đối nhau.