cho hàm f(x)=x^2-2(m+1)x+1-m có bao nhiêu m để hàm ý=|f(x)| đồng biến trên -1;1

Lời giải chi tiết

Nếu $|f(x)|$ đồng biến trên $(-1;1)$ thì $f(x)$ không thể bằng $0$ tại một điểm trong khoảng này. Thật vậy, nếu $f(x_0)=0$ với $x_0\in(-1;1)$, tính đồng biến và $|f(x)|\geq 0$ buộc $f(x)=0$ tại mọi $x\in(-1;x_0)$, điều này không thể xảy ra vì $f$ là tam thức bậc hai.

Do $f$ liên tục, $f(x)$ phải cùng dấu trên $(-1;1)$. Ta xét từng trường hợp:

• Trường hợp $f(x)>0$: Khi đó $|f(x)|=f(x)$. Để hàm số đồng biến, cần $f'(x)=2(x-m-1)\geq 0$ với mọi $x\in(-1;1)$. Điều này tương đương $m\leq-2$. Đồng thời, tính liên tục cho thấy $f(-1)=m+4\geq0$, hay $m\geq-4$. Vậy $-4\leq m\leq-2$.
• Trường hợp $f(x)<0$: Khi đó $|f(x)|=-f(x)$. Để hàm số đồng biến, cần $f'(x)\leq0$ với mọi $x\in(-1;1)$, suy ra $m\geq0$. Nhưng khi ấy $f(-1)=m+4>0$, trái với $f(x)<0$ trên $(-1;1)$. Trường hợp này không xảy ra.

Ngược lại, với $-4\leq m\leq-2$, ta có $f(-1)\geq0$ và $f'(x)>0$ với mọi $x\in(-1;1)$. Do đó $f(x)>0$ và $|f(x)|=f(x)$ đồng biến trên khoảng đã cho.

Kết luận: $m\in[-4;-2]$, nên có vô số giá trị của $m$.

Kiến thức cần nhớ

• Muốn xét tính đồng biến của $|f(x)|$, cần xét dấu của $f(x)$ trên khoảng đang xét.
• Nếu $f(x)>0$ thì $|f(x)|=f(x)$; nếu $f(x)<0$ thì $|f(x)|=-f(x)$.
• Với hàm liên tục trên $[-1;1]$, dấu của giá trị tại đầu mút giúp kiểm tra dấu trên khoảng khi đã biết chiều biến thiên.

Lỗi thường gặp

• Chỉ xét dấu của $f'(x)$ mà không kiểm tra dấu của $f(x)$.
• Loại nhầm $m=-4$ hoặc $m=-2$ vì khoảng xét là khoảng mở; hai giá trị này vẫn thỏa mãn.