Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Biết \(AB=9\) cm, \(AC=12\) cm, \(BC=15\) cm.
- Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tính \(AH\), \(HB\), \(HC\).
- Kẻ đường phân giác \(BM\) của tam giác \(ABC\), với \(M\) thuộc \(AC\). Tính \(AM\), \(MC\).
- Kẻ đường phân giác ngoài \(BN\) tại \(B\), cắt đường thẳng \(AC\) tại \(N\). Tính \(AN\).
- Chứng minh \(AM\cdot NC=AN\cdot CM\).
Đáp án:
a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\); \(AH=7{,}2\) cm, \(HB=5{,}4\) cm, \(HC=9{,}6\) cm.
b) \(AM=4{,}5\) cm, \(MC=7{,}5\) cm. c) \(AN=18\) cm.
d) \(AM\cdot NC=AN\cdot CM=135\ \text{cm}^2\).
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh tam giác vuông và tính đường cao.
Ta có \(AB^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=BC^2\). Theo định lí Pythagore đảo, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Diện tích tam giác \(ABC\) được tính theo hai cách nên \(\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{BC\cdot AH}{2}\). Suy ra \(AH=\dfrac{9\cdot12}{15}=7{,}2\) cm.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(AB^2=BH\cdot BC\), do đó \(BH=\dfrac{9^2}{15}=5{,}4\) cm. Tương tự, \(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=9{,}6\) cm.
b) Tính \(AM\) và \(MC\).
Theo định lí đường phân giác trong tam giác \(ABC\), \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\). Vì \(AM+MC=AC=12\) cm nên \(AM=\dfrac{3}{3+5}\cdot12=4{,}5\) cm và \(MC=12-4{,}5=7{,}5\) cm.
c) Tính \(AN\).
Vì \(BN\) là phân giác ngoài tại \(B\) và \(AB<BC\), điểm \(N\) nằm trên phần kéo dài của \(CA\) về phía \(A\). Do đó \(NC=NA+AC=AN+12\) cm.
Theo định lí đường phân giác ngoài, \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\). Suy ra \(\dfrac{AN}{AN+12}=\dfrac{3}{5}\), hay \(5AN=3AN+36\). Vậy \(AN=18\) cm.
d) Chứng minh đẳng thức.
Từ các kết quả trên, \(NC=AN+AC=18+12=30\) cm. Khi đó \(AM\cdot NC=4{,}5\cdot30=135\ \text{cm}^2\) và \(AN\cdot CM=18\cdot7{,}5=135\ \text{cm}^2\). Vậy \(AM\cdot NC=AN\cdot CM\).
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
a) $\Delta ABC$ có: $AB^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=BC^2$
Theo định lí Pitago đảo
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC$ ta có:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}$
$=\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{12^2}=\dfrac{25}{1296}$
$\Rightarrow AH=7,2$
$HB^2=AB^2-AH^2=9^2-7,2^2$
$\Rightarrow HB=5,4$
$HC=15-5,4=9,6$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$
$\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{9}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=53,13^o$
$\Rightarrow \widehat{ABM}=26,57$
$\Rightarrow \tan\widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{AM}{9}$
$\Rightarrow AM=4,5$
$\Rightarrow MC=AC-AM=12-4,5=7,5$
c) Đường phân giác ngoài và phân giác trong vuông góc với nhau
$\Rightarrow BM\bot BN$
$\Rightarrow \widehat{NBA}=\widehat{NBM}-\widehat{ABM}=90^o-26,57^o=63,43$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta NBM$
$\tan\widehat{NBM}=\dfrac{AN}{AB}$
$\Rightarrow 2=\dfrac{AN}{9}$
$\Rightarrow AN=18$