cho y=-x^2+4x-3 biện luận theo m số nghiệm phương trình x^2-4x=m

Lời giải chi tiết

Ta biến đổi phương trình:

$x^2-4x=m\Leftrightarrow (x-2)^2=m+4$.

Vì $(x-2)^2\geq 0$ với mọi $x$, số nghiệm phụ thuộc vào dấu của $m+4$:

• Nếu $m<-4$ thì $m+4<0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $m=-4$ thì $(x-2)^2=0$, phương trình có một nghiệm $x=2$.
• Nếu $m>-4$ thì $m+4>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=2-\sqrt{m+4}$ và $x=2+\sqrt{m+4}$.

Hàm số đã cho cũng cho thấy kết quả này: $y=-(x-2)^2+1$, còn phương trình cần xét tương đương với $y=-m-3$. Đường thẳng $y=-m-3$ lần lượt không cắt, tiếp xúc hoặc cắt đồ thị tại hai điểm khi $m<-4$, $m=-4$ hoặc $m>-4$.

Kiến thức cần nhớ

• Hoàn thành bình phương: $x^2-4x=(x-2)^2-4$.
• Phương trình $u^2=a$ có $0$, $1$ hoặc $2$ nghiệm tương ứng với $a<0$, $a=0$ hoặc $a>0$.

Lỗi thường gặp

• Nhầm dấu khi chuyển $-4$ sang vế phải, dẫn đến xét sai dấu của $m+4$.
• Khi $m=-4$, tính nghiệm $x=2$ hai lần dù đây chỉ là một nghiệm phân biệt.