Cho x,y,z là ba số nguyên khác nhau. Chứng minh nếu a=x^2-yz; b=y^2-xz; c=z^2-xy thì tổng ax+by+cz chia hết cho (a+b+c)

Lời giải chi tiết

Trước hết, từ định nghĩa của $a,b,c$, ta được

$$a+b+c=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}.$$

Vì $x,y,z$ đôi một khác nhau nên $a+b+c>0$. Do đó, $a+b+c$ là một số chia khác $0$.

Mặt khác,

$$ax+by+cz=x(x^2-yz)+y(y^2-xz)+z(z^2-xy)=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$

Áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, ta có

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x+y+z)(a+b+c).$$

Vì $x+y+z$ là số nguyên nên $ax+by+cz$ chia hết cho $a+b+c$.

Kiến thức cần nhớ

• Hằng đẳng thức: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
• Nếu một số nguyên bằng tích của số nguyên $k$ với số nguyên $d\ne 0$ thì số đó chia hết cho $d$.
• $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}$.

Lỗi thường gặp

• Quên kiểm tra $a+b+c\ne 0$ trước khi xét tính chia hết.
• Khai triển $ax+by+cz$ sai dấu ở các hạng tử chứa $xyz$.