Gọi A,B là 2 giao điểm của đường thẳng (d): y=-3x+9 và parabol (P): y=-x^2+2x+3. Gọi K(a;b) thuộc trục đối xứng của (P) sao cho KA+KB nhỏ nhất. Tính a+b

Xét phương trình hoành độ ta có:

$-x^2+2x+3=-3x+9$

$\Rightarrow x=2\Rightarrow y=-3.2+9=3$

$\Rightarrow A(2;3)$

và $x=3\Rightarrow y=-3.9+9=0$ $\Rightarrow B=(3;0)$

$K$ thuộc đường trung trực của $AB$ thì $KA+KB$ đạt GTNN $I(m,n)$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} m=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2} \\ n=\dfrac{3+0}{2}=\dfrac{3}{2} \end{array} \right .$

$\Rightarrow \vec{IK}=(a-\dfrac{5}{2};b-\dfrac{3}{2})$ $\vec{AB}=(1;-3)$

$\Rightarrow IK\bot AB\Rightarrow \vec{IK}\vec{AB}=\vec 0$

$\Rightarrow a-\dfrac{5}{2}-3(b-\dfrac{3}{2})=0$

$\Rightarrow a-3b+2=0\Rightarrow b=\dfrac{a+2}{3} (1)$

Do $K\in(P)\Rightarrow b=-a^2+2a+3$

Thay (1) vào phương trình tương đương

$\dfrac{a+2}{3}=-a^2+2a+3$

$\Rightarrow a=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\sqrt{109}}{3}}{-2}=\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}$ (Ngiệm âm loại vì từ đồ thị nghiệm dương cho tổng 2 đoạn ngắn hơn)

$\Rightarrow b=\dfrac{\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}+2}{3}=\dfrac{17+\sqrt{109}}{18}$

$\Rightarrow a+b=\dfrac{11+2\sqrt{109}}{18}$