a) Chứng minh tổng 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 +…+ 2^20 chi hết cho 5. b) Tìm số tự nhiên n để 2n + 5 chia hết cho n + 1. c) Cho S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6+…+ 5^2012

Lời giải chi tiết

a) Ta có $2+2^2+2^3+2^4=30$, chia hết cho $5$.

Tổng đã cho có $20$ số hạng nên chia được thành $5$ nhóm, mỗi nhóm gồm bốn số hạng liên tiếp. Mỗi nhóm có dạng $2^{4k}(2+2^2+2^3+2^4)=30\cdot2^{4k}$ với $k=0,1,2,3,4$, do đó đều chia hết cho $5$. Vậy $2+2^2+\cdots+2^{20}$ chia hết cho $5$.

b) Ta viết $2n+5=2(n+1)+3$. Vì $2(n+1)$ chia hết cho $n+1$, nên $2n+5$ chia hết cho $n+1$ khi và chỉ khi $3$ chia hết cho $n+1$.

Do $n$ là số tự nhiên nên $n+1$ là ước dương của $3$, tức là $n+1=1$ hoặc $n+1=3$. Suy ra $n=0$ hoặc $n=2$.

c) Ta có $5+5^2+5^3+5^4=5+25+125+625=780=65\cdot12$.

Vì $2012=4\cdot503$, ta chia $S$ thành $503$ nhóm, mỗi nhóm gồm bốn số hạng liên tiếp. Mỗi nhóm có dạng $5^{4k}(5+5^2+5^3+5^4)=780\cdot5^{4k}$ với $k=0,1,\ldots,502$, nên đều chia hết cho $65$. Vậy $S$ chia hết cho $65$.

Kiến thức cần nhớ

• Nếu mỗi nhóm số hạng đều chia hết cho một số thì tổng các nhóm cũng chia hết cho số đó.
• Nếu $a=bq+r$ thì $a$ chia hết cho $b$ khi và chỉ khi $r$ chia hết cho $b$.

Lỗi thường gặp

• Ở câu b, bỏ sót $n=0$ khi xét các số tự nhiên.
• Ở câu c, nhóm không đủ bốn số hạng hoặc tính sai $5+5^2+5^3+5^4$.