Phân tích: (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(a-b+c)-(-a+b+c)=?

Lời giải chi tiết

Đặt $x=a+b$. Khi đó hai hạng tử đầu là $(x+c)^3-(x-c)^3$.

Khai triển theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng và một hiệu:

$(x+c)^3=x^3+3x^2c+3xc^2+c^3$;

$(x-c)^3=x^3-3x^2c+3xc^2-c^3$.

Lấy biểu thức thứ nhất trừ biểu thức thứ hai, ta được:

$(x+c)^3-(x-c)^3=6x^2c+2c^3$.

Tiếp theo, rút gọn hai hạng tử bậc nhất. Chú ý dấu trừ đứng trước mỗi ngoặc:

$-(a-b+c)-(-a+b+c)=-a+b-c+a-b-c=-2c$.

Do đó, biểu thức đã cho bằng:

$6x^2c+2c^3-2c=2c(3x^2+c^2-1)$.

Thay $x=a+b$, ta có kết quả:

$\boxed{2c\left[3(a+b)^2+c^2-1\right]}$.

Kiến thức cần nhớ

• Hằng đẳng thức: $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ và $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$.
• Khi bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước, phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc.
• Sau khi rút gọn, có thể đặt nhân tử chung để phân tích biểu thức thành nhân tử.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $(a-b+c)$ và $(-a+b+c)$ là các biểu thức được nâng lên lũy thừa ba; trong đề, chúng chỉ là các hạng tử bậc nhất.
• Quên đổi dấu khi bỏ ngoặc, dẫn đến rút gọn sai hai hạng tử cuối.