Cho a,b,c là 3 số khác 0 thoả mãn (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 Cmr: 1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/abc

Lời giải chi tiết

Khai triển giả thiết $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$, ta có $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2$. Do đó $ab+bc+ca=0$.

Vì $abc\ne 0$ nên

$$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac{bc+ca+ab}{abc}=0.$$

Ta dùng hằng đẳng thức: nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$.

Đặt $x=\dfrac1a$, $y=\dfrac1b$, $z=\dfrac1c$. Vì $x+y+z=0$, suy ra

$$\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=3\cdot\dfrac1a\cdot\dfrac1b\cdot\dfrac1c=\dfrac{3}{abc}.$$

Vậy đẳng thức cần chứng minh là đúng.

Kiến thức cần nhớ

• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.
• Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $ab+bc+ca=0$ với $a+b+c=0$.
• Quên điều kiện $a,b,c$ khác $0$ khi lấy nghịch đảo.