chứng minh các tứ giác đặc biệt và tính góc trong hình bình hành

Lời giải chi tiết

Đặt $AB=a$. Vì $ABCD$ là hình bình hành và $BC=2AB$, ta có $AD=BC=2a$. Do $E$, $F$ là trung điểm của $BC$, $AD$ nên $BE=AF=FD=a$.

a) Xét tứ giác $ABEF$. Ta có $BE\parallel AF$ và $BE=AF$, nên $ABEF$ là hình bình hành. Lại có $AB=BE=a$, suy ra $ABEF$ là hình thoi. Vì thế, $EF=AB=a$ và $EF\parallel AB$.

b) Xét tứ giác $AIEF$. Do $I$ đối xứng với $A$ qua $B$, ba điểm $A$, $B$, $I$ thẳng hàng và $BI=BA=a$. Kết hợp với $EF\parallel AB$, suy ra $AIEF$ là hình thang.

Vì $BI$ cùng hướng với $AB$ và $BE$ cùng hướng với $AD$ nên $\widehat{IBE}=\widehat{DAB}=60^\circ$. Trong tam giác $BIE$, $BI=BE=a$ và góc xen giữa bằng $60^\circ$, do đó tam giác $BIE$ đều. Suy ra $IE=a=AF$. Hình thang $AIEF$ có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thang cân.

c) Xét tứ giác $BICD$. Vì $A$, $B$, $I$ thẳng hàng nên $BI\parallel CD$. Mặt khác, $BI=BA=CD=a$. Tứ giác $BICD$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

d) Tính $\widehat{AED}$. Ta có $FA$ ngược hướng với $FD$ và $FE\parallel AB$, nên $\widehat{AFE}=180^\circ-\widehat{DAB}=120^\circ$. Trong tam giác $AFE$, $AF=FE=a$, suy ra $\widehat{AEF}=(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ$.

Trong tam giác $EFD$, $EF=FD=a$ và $\widehat{EFD}=\widehat{DAB}=60^\circ$. Vậy tam giác $EFD$ đều, nên $\widehat{FED}=60^\circ$. Tia $EF$ nằm trong góc $AED$, do đó $\widehat{AED}=\widehat{AEF}+\widehat{FED}=30^\circ+60^\circ=90^\circ$.

Kiến thức cần nhớ

• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

Lỗi thường gặp

• Chỉ chứng minh $AIEF$ có một cặp cạnh đối song song rồi kết luận ngay là hình thang cân; cần chứng minh thêm $AF=IE$.
• Nhầm $\widehat{AFE}$ với $\widehat{EFD}$: hai góc này kề bù, lần lượt bằng $120^\circ$ và $60^\circ$.