cho hình bình hành abcd có o là giao điểm 2 đường chéo E đối xứng với A qua B F là giao điểm củaBC và ED G là giao điểm của bc và OE H là giao điểm của EC và OF chứng min

Lời giải chi tiết

Vì $E$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $EA$.

Xét tam giác $EAD$. Ta có $B$ là trung điểm của $EA$ và $BF\parallel AD$ do $F\in BC$, $BC\parallel AD$. Theo định lí đường trung bình, $BF=\dfrac{AD}{2}$. Mặt khác, hình bình hành $ABCD$ có $AD=BC$, suy ra $BF=\dfrac{BC}{2}$. Vì $F\in BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.

Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $ABC$, $O$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$, do đó $OF\parallel AB$. Vì $A$, $B$, $E$ thẳng hàng nên $OH\parallel AE$.

Xét tam giác $ACE$. Vì $O$ là trung điểm của $AC$, $H\in EC$ và $OH\parallel AE$, nên $H$ là trung điểm của $EC$.

Trong tam giác $EAC$, $CB$ và $EO$ là hai đường trung tuyến vì $B$ là trung điểm của $EA$ và $O$ là trung điểm của $AC$. Chúng cắt nhau tại $G$, nên $G$ là trọng tâm tam giác $EAC$. Trọng tâm nằm trên đường trung tuyến thứ ba $AH$. Vậy $A$, $G$, $H$ thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

• Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
• Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua trọng tâm.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $F$ là trung điểm của $BC$ khi chưa chứng minh.
• Nhầm $H$ là trung điểm của $EC$ chỉ vì $O$ là trung điểm của $AC$; cần chứng minh thêm $OH\parallel AE$.