Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA vuông với đáy mặt bên SBC tạo với đáy góc 60 độ tính thể tích SABC và tính diện tích toàn phần

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $ABC$ là tam giác đều nên $AM\perp BC$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp BC$. Kết hợp với $AM\perp BC$, suy ra $BC\perp(SAM)$, do đó $SM\perp BC$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}=60^\circ$.

1. Tính thể tích

Tam giác $SAM$ vuông tại $A$, nên $SA=AM\tan60^\circ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$.

Diện tích đáy là $S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Vì $SA$ là chiều cao hình chóp nên

$$V=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot SA=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{8}.$$

2. Tính diện tích toàn phần

Hai tam giác $SAB$ và $SAC$ vuông tại $A$, có $AB=AC=a$, nên $S_{SAB}=S_{SAC}=\dfrac{1}{2}\cdot SA\cdot a=\dfrac{3a^2}{4}$.

Trong tam giác vuông $SAM$, ta có $SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\sqrt{\dfrac{9a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}}=a\sqrt{3}$. Vì $SM\perp BC$ nên $S_{SBC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot SM=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Cộng diện tích đáy và ba mặt bên, ta được

$$S_{\mathrm{tp}}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+2\cdot\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{(6+3\sqrt{3})a^2}{4}.$$

Kiến thức cần nhớ

• Thể tích hình chóp bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.
• Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
• Diện tích toàn phần bằng diện tích đáy cộng diện tích tất cả các mặt bên.

Lỗi thường gặp

• Nhầm góc $60^\circ$ giữa hai mặt phẳng với góc giữa $SA$ và mặt đáy.
• Khi tính diện tích mặt $SBC$, dùng $SA$ thay cho đường cao $SM$.