Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SGM)$ và $(ABCD)$. Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $GM$ với mặt phẳng $(ABCD)$.
tìm giao tuyến của mặt phẳng (SGM) với đáy và giao điểm của GM với đáy
Share
Đáp án:
Gọi $N$ là trung điểm của $AD$. Khi đó $(SGM)\cap(ABCD)=BN$. Giao điểm $I$ cần tìm nằm trên tia $BN$ và thỏa mãn $NI=NB$.
Lời giải chi tiết
Bước 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
Gọi $N$ là trung điểm của $AD$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên $G$ nằm trên đường trung tuyến $SN$. Do đó $N\in SG\subset(SGM)$; đồng thời $N\in AD\subset(ABCD)$.
Mặt khác, $M$ là trung điểm của $SB$ nên $S$, $M$, $B$ thẳng hàng. Suy ra $B\in SM\subset(SGM)$ và $B\in(ABCD)$.
Hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $B$, $N$, vì vậy $(SGM)\cap(ABCD)=BN$.
Bước 2. Tìm giao điểm của $GM$ với mặt phẳng đáy.
Trên tia $BN$, lấy điểm $I$ sao cho $NI=NB$, tức $N$ là trung điểm của $BI$. Xét tam giác $SBI$: $SN$ là đường trung tuyến. Do $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên $SG:GN=2:1$. Vì thế $G$ cũng là trọng tâm tam giác $SBI$.
Trong tam giác $SBI$, $M$ là trung điểm của $SB$, nên đường trung tuyến $IM$ đi qua trọng tâm $G$. Vậy $I\in GM$. Lại có $I\in BN\subset(ABCD)$, suy ra $I=GM\cap(ABCD)$.
Đáp số: Giao tuyến là $BN$; giao điểm cần tìm là điểm $I$ đối xứng với $B$ qua $N$.
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
Trong mp(SAD), gọi N là giao điểm của SG và AD
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in SG \subset \left( {SGM} \right)\\N \in AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {SGM} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Mà
\(\left\{ \begin{array}{l}B \in SM \subset \left( {SGM} \right)\\B \in \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B \in \left( {SGM} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {SGM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BN\).
Trong mp(SBN), gọi I là giao điểm của GM và BN.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in GM\\I \in BN \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = GM \cap \left( {ABCD} \right)\)