Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Các tam giác $SAB$, $SAC$, $SBC$ đều vuông cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$; $N$, $P$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua $B$, $C$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABC$ với mặt phẳng $(MNP)$.
Tính diện tích thiết diện của hình chóp có ba mặt bên vuông cân tại đỉnh
Share
Đáp án:
Thiết diện là tam giác $MHK$, trong đó $H\in SB$, $K\in SC$ và $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SC}=\dfrac23$. Diện tích thiết diện là $\boxed{\dfrac{a^2\sqrt{34}}{36}}$.
Lời giải chi tiết
Gọi $H=MN\cap SB$ và $K=MP\cap SC$. Vì $N$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AN$, suy ra $AN=2NB$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $SAB$ với ba điểm thẳng hàng $M,H,N$, ta có
$\dfrac{SM}{MA}\cdot\dfrac{AN}{NB}\cdot\dfrac{BH}{HS}=1$.
Do $SM=MA$ và $AN=2NB$, suy ra $\dfrac{BH}{HS}=\dfrac12$. Vậy $H$ nằm trên đoạn $SB$ và $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac23$. Tương tự, $K$ nằm trên đoạn $SC$ và $\dfrac{SK}{SC}=\dfrac23$.
Mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt cắt các mặt $SAB$, $SAC$, $SBC$ theo các đoạn $MH$, $MK$, $HK$. Vì $N$, $P$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy và đường thẳng $NP$ nằm ngoài tam giác $ABC$, mặt phẳng $(MNP)$ không cắt mặt đáy. Do đó thiết diện là tam giác $MHK$.
Các tam giác $SAB$, $SAC$, $SBC$ vuông cân tại $S$ nên $SA=SB=SC$ và $AB=SA\sqrt2$. Suy ra $SA=SB=SC=\dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Vì $M$ là trung điểm của $SA$, ta có $SM=\dfrac{a\sqrt2}{4}$; đồng thời $SH=SK=\dfrac23\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{3}$. Hai tam giác $SMH$, $SMK$ vuông tại $S$, nên
$MH=MK=\sqrt{SM^2+SH^2}=\dfrac{5a\sqrt2}{12}$.
Trong tam giác $SBC$, ta có $\dfrac{SH}{SB}=\dfrac{SK}{SC}=\dfrac23$, nên $HK\parallel BC$ và $HK=\dfrac23BC=\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $D$ là trung điểm của $HK$. Vì tam giác $MHK$ cân tại $M$ nên $MD\perp HK$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $MDH$:
$MD=\sqrt{MH^2-DH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{5a\sqrt2}{12}\right)^2-\left(\dfrac a3\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{34}}{12}$.
Vậy diện tích thiết diện là $S_{MHK}=\dfrac12\cdot HK\cdot MD=\boxed{\dfrac{a^2\sqrt{34}}{36}}$.
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
Giải thích các bước giải:
Gọi H là giao điểm của MN và SB, K là giao điểm của SC và MP
Thiết diện của mặt phẳng (MNP) và S.ABC là tam giác MHK
Áp dụng định lí Mê- nê- na-uýt cho tam giác SAB có M,H,N thẳng hàng ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AN}}{{NB}}.\frac{{BH}}{{HS}} = 1\\
\Leftrightarrow 1.2.\frac{{BH}}{{HS}} = 1\\
\Rightarrow \frac{{BH}}{{HS}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{2}{3}
\end{array}\]
tương tự ta cũng có SK=2/3SC
Các tam giác SAB,SAC, SBC đều vuông cân tại S nên \[SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
MK = MH = \sqrt {S{M^2} + S{H^2}} = \frac{{5\sqrt 2 a}}{{12}}\\
HK = \sqrt {S{H^2} + S{K^2}} = \frac{{2a}}{3}\\
\Rightarrow {S_{MHK}} = \frac{{\sqrt {34} }}{{36}}
\end{array}\]