cho hình vuông ABCD . E là điểm trên cạnh DC , F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF=DE.a)c/m tam giác AEF vuông cân . b) gọi I là trunng điểm của EF .c/m i thuộc

a) Xét $\Delta$ vuông $ADE$ và $\Delta$ vuông $ ABF$ có:

$AD=AB$

$DE=BF$

$\Rightarrow $ $\Delta$ vuông $ADE=\Delta$ vuông $ ABF$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AE=AF$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Và $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=\widehat{BAF}+\widehat{EAB}$

$=\widehat{DAE}+\widehat{EAF}$

$=90^o$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=90^o$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \Delta AEF$ vuông cân đỉnh $A$.

b) $BD\bot AC$ và $BD$ chia $AC$ thành 2 đoạn bằng nhau

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AC$ (3)

$\Delta AEF$ vuông cân $AI$ là trung tuyến

Suy ra $AI=\dfrac{1}{2}EF$

$\Delta$ vuông $ CEF$ có $CI$ là trung tuyến $\Rightarrow CI=\dfrac{1}{2}EF$

$\Rightarrow AI=CI(=\dfrac{1}{2}EF)$

$\Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra $D,B,I$ thẳng hàng

$I\in DB$

c) $\Delta AEF$ cân đỉnh $A$

$I$ là trung điểm của $EF$

$\Rightarrow AI\bot EF$

$\Rightarrow AK$ là đường trung trực của $EF$ (5)

$K$ là hình chiếu của $A$ qua $I$

$\Rightarrow AI=IK$

Hay $I$ là trung điểm của $AK$

Mà $EF\bot AK$

$\Rightarrow EF$ là đường trung trực của $AK$ (5)

Từ (5) và (6) suy ra $AEKF$ là tứ giác có hai đường chéo là trung trực của mỗi đường

$\Rightarrow AEKF$ là hình thoi.

Mà $\widehat{EAF}=90^o$

$\Rightarrow AEKF$ là hình vuông.