cho tam giác ABC dựng phía ngoài các hình vuông BCIJ , ACMN , ABEF . gọi O , P , Q là tâm các hình vuông đó . gọi D là trung điểm AB , cmr tam giác DOP vuông cân

Lời giải chi tiết

Gọi $K$, $H$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AC$.

Vì $D$, $H$ là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $DH\parallel BC$ và $DH=\dfrac{BC}{2}$. Tương tự, $D$, $K$ là trung điểm của $AB$, $BC$ nên $DK\parallel AC$ và $DK=\dfrac{AC}{2}$.

Trong hình vuông $BCIJ$, tâm $O$ nằm trên đường vuông góc với $BC$ tại $K$, do đó $KO\perp BC$ và $KO=\dfrac{BC}{2}$. Trong hình vuông $ACMN$, ta có $HP\perp AC$ và $HP=\dfrac{AC}{2}$.

Xét trường hợp $A$, $B$, $C$ theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Do hai hình vuông được dựng ra phía ngoài, phép quay $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ biến hướng của đoạn $DH$ thành hướng của đoạn $KO$, đồng thời biến hướng của đoạn $HP$ thành hướng của đoạn $DK$. Các cặp đoạn tương ứng cũng có độ dài bằng nhau.

Đường gấp khúc $D\to H\to P$ đi từ $D$ đến $P$. Sau phép quay nói trên, hai đoạn của đường gấp khúc này có thể ghép theo thứ tự $D\to K\to O$, đi từ $D$ đến $O$. Vì vậy, phép quay $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ quanh $D$ biến $P$ thành $O$. Suy ra $DP=DO$ và $\angle ODP=90^\circ$.

Nếu $A$, $B$, $C$ theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ thì lập luận tương tự với phép quay ngược chiều kim đồng hồ. Vậy trong mọi trường hợp, tam giác $DOP$ vuông cân tại $D$.

Kiến thức cần nhớ

• Đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác song song với cạnh còn lại và bằng một nửa cạnh ấy.
• Đoạn nối tâm hình vuông với trung điểm một cạnh vuông góc với cạnh đó và bằng nửa độ dài cạnh.
• Phép quay $90^\circ$ bảo toàn độ dài và tạo ra hai đoạn thẳng vuông góc.

Lỗi thường gặp

• Nhầm phía ngoài của hình vuông, dẫn đến chọn sai chiều quay.
• Chỉ chứng minh $DO=DP$ mà chưa chứng minh $\angle ODP=90^\circ$.