Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$.
- Chứng minh $\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2$.
- Kẻ $HM\perp AB$, $HN\perp AC$ với $M\in AB$, $N\in AC$. Chứng minh $\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}$.
- Chứng minh $AH^3=BC\cdot BM\cdot CN$.
Đáp án:
Áp dụng các hệ thức $AB^2=BH\cdot BC$, $AC^2=CH\cdot BC$, $AH^2=BH\cdot CH$, $BM=\dfrac{BH^2}{AB}$ và $CN=\dfrac{CH^2}{AC}$ để chứng minh cả ba đẳng thức.
Lời giải chi tiết
a) Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền cho ta:
$AB^2=BH\cdot BC$ và $AC^2=CH\cdot BC$.
Chia hai đẳng thức, suy ra $\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2$.
b) Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ và $HM$ là đường cao ứng với cạnh huyền $AB$. Do đó $BH^2=BM\cdot AB$, hay $BM=\dfrac{BH^2}{AB}$.
Tương tự, trong tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có $CH^2=CN\cdot AC$, hay $CN=\dfrac{CH^2}{AC}$.
Vì vậy, theo kết quả câu a):
$$\frac{BM}{CN}=\frac{BH^2}{CH^2}\cdot\frac{AC}{AB}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^4\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}.$$
c) Từ các hệ thức ở câu b), ta có:
$$BC\cdot BM\cdot CN=BC\cdot\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{CH^2}{AC}=\frac{BC\cdot(BH\cdot CH)^2}{AB\cdot AC}.$$
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH^2=BH\cdot CH$. Mặt khác, tính diện tích tam giác theo hai cách được $AB\cdot AC=AH\cdot BC$. Thay vào biểu thức trên:
$$BC\cdot BM\cdot CN=\frac{BC\cdot AH^4}{AH\cdot BC}=AH^3.$$
Kiến thức cần nhớ
Lỗi thường gặp
$$\eqalign{
& a)\,\,Ap\,\,dung\,\,HTL\,trong\,\,{\Delta _v}ABC: \cr
& A{B^2} = HB.BC \cr
& A{C^2} = HC.BC \cr
& \Rightarrow {{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {{HB} \over {HC}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^2} \cr
& b)\,\, \cr
& Ap\,\,dung\,\,HTL\,\,trong\,\,{\Delta _v}AHB:\,\,BM = {{B{H^2}} \over {AB}} \cr
& Ap\,\,dung\,\,HTL\,\,trong\,\,{\Delta _v}AHC:\,\,CN = {{C{H^2}} \over {AC}} \cr
& \Rightarrow {{BM} \over {CN}} = {{B{H^2}} \over {AB}}.{{AC} \over {C{H^2}}} = {\left( {{{BH} \over {CH}}} \right)^2}.{{AC} \over {AB}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^4}.{{AC} \over {AB}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^3} = {{A{B^3}} \over {A{C^3}}} \cr
& c)\,\,A{H^3} = BC.BM.CN \cr
& BC.BM.CN = BC.{{B{H^2}} \over {AB}}.{{C{H^2}} \over {AC}} \cr
& = {{BC.{{\left( {BH.CH} \right)}^2}} \over {AB.AC}} = {{BC.A{H^4}} \over {AH.BC}} = A{H^3} \cr} $$