Cho tam giác ABC vuông tại A, Có đường cao AH a) Cho AC= 4cm, BC= 5cm . Tính AB,AH,BH,CH b) Cho AB= 12cm, BH=6cm. Tính AH,AC,BC,CH

Đáp án ngắn: a) AB=3cm, AH=2,4cm, BH=1,8cm, CH=3,2cm. b) BC=24cm, CH=18cm, AH=6√3cm, AC=12√3cm.

Lời giải chi tiết

a) Cho AC = 4cm, BC = 5cm

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A: $BC^2 = AB^2 + AC^2$

$AB^2 = BC^2 – AC^2 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 9 \Rightarrow AB = 3\text{ cm}$

Áp dụng hệ thức lượng: $AH \cdot BC = AB \cdot AC$

$AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm}$

Áp dụng hệ thức: $AB^2 = BH \cdot BC$

$BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{9}{5} = 1,8\text{ cm}$

Suy ra $CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2\text{ cm}$

Kiểm tra: $AH^2 = BH \cdot CH = 1,8 \cdot 3,2 = 5,76 \Rightarrow AH = 2,4$ (khớp kết quả trên).

b) Cho AB = 12cm, BH = 6cm

Áp dụng hệ thức: $AB^2 = BH \cdot BC$

$BC = \dfrac{AB^2}{BH} = \dfrac{144}{6} = 24\text{ cm}$

Suy ra $CH = BC – BH = 24 – 6 = 18\text{ cm}$

Áp dụng hệ thức: $AH^2 = BH \cdot CH = 6 \cdot 18 = 108 \Rightarrow AH = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$

Áp dụng hệ thức: $AC^2 = CH \cdot BC = 18 \cdot 24 = 432 \Rightarrow AC = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\text{ cm}$

Kiểm tra bằng Pythagore: $AB^2 + AC^2 = 144 + 432 = 576 = 24^2 = BC^2$ (đúng).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền, các hệ thức lượng cơ bản:

$1)\ AB^2 = BH \cdot BC,\quad AC^2 = CH \cdot BC$

$2)\ AH^2 = BH \cdot CH$

$3)\ AH \cdot BC = AB \cdot AC$

$4)\ BC^2 = AB^2 + AC^2$ (định lí Pythagore)

Chỉ cần biết 2 đại lượng độc lập trong hệ thức là có thể suy ra các đại lượng còn lại.

Lỗi thường gặp

• Nhầm lẫn cạnh nào là hình chiếu của cạnh góc vuông nào lên cạnh huyền (BH ứng với AB, CH ứng với AC).
• Viết sai công thức Pythagore, ví dụ nhầm $BC^2 = AB^2 \cdot AC^2$ thay vì phép cộng.
• Quên kiểm tra lại kết quả bằng hệ thức khác để phát hiện sai sót tính toán.
• Nhầm giữa BH và CH khi tính CH = BC − BH.

Bài tập tương tự

Bài tương tự: Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH. Biết DE = 6cm, DF = 8cm. Tính EF, DH, EH, FH.
Đáp số: $EF = 10\text{cm}$ (Pythagore); $DH = \dfrac{DE \cdot DF}{EF} = 4,8\text{cm}$; $EH = \dfrac{DE^2}{EF} = 3,6\text{cm}$; $FH = EF – EH = 6,4\text{cm}$.