Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=3|x-2|-|2x-6| Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên [-3;4]

Lời giải chi tiết

Khảo sát và vẽ đồ thị

Các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đổi dấu tại $x=2$ và $x=3$. Xét từng khoảng:

• Nếu $x<2$ thì $|x-2|=2-x$ và $|2x-6|=6-2x$. Do đó $y=3(2-x)-(6-2x)=-x$.
• Nếu $2\le x<3$ thì $|x-2|=x-2$ và $|2x-6|=6-2x$. Do đó $y=3(x-2)-(6-2x)=5x-12$.
• Nếu $x\ge3$ thì $|x-2|=x-2$ và $|2x-6|=2x-6$. Do đó $y=3(x-2)-(2x-6)=x$.

Vậy hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và có dạng

$$y=\begin{cases}-x,&x<2,\\5x-12,&2\le x<3,\\x,&x\ge3.\end{cases}$$

Vì hệ số góc của các đường thẳng lần lượt là $-1$, $5$ và $1$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2]$, đồng biến trên $[2;+\infty)$. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ là $-2$ tại $x=2$ và không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.

Để vẽ đồ thị, đánh dấu hai điểm nối $(2;-2)$ và $(3;3)$. Từ $(2;-2)$, vẽ phần đường thẳng $y=-x$ về bên trái; nối $(2;-2)$ với $(3;3)$ bằng đoạn thẳng thuộc $y=5x-12$; từ $(3;3)$, vẽ phần đường thẳng $y=x$ về bên phải.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên $[-3;4]$

Do hàm số giảm trên $[-3;2]$ và tăng trên $[2;4]$, ta so sánh giá trị tại hai đầu đoạn và tại $x=2$:

$y(-3)=3$, $y(2)=-2$, $y(4)=4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất trên $[-3;4]$ là $-2$ tại $x=2$; giá trị lớn nhất là $4$ tại $x=4$.

Kiến thức cần nhớ

• Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối, xét dấu của từng biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Hàm số bậc nhất $y=ax+b$ đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0$.
• Với hàm số cho bởi nhiều công thức trên một đoạn, cần xét các đầu đoạn và những điểm đổi công thức khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Lỗi thường gặp

• Chỉ xét điểm $x=2$ mà bỏ qua điểm đổi công thức $x=3$ khi vẽ đồ thị.
• Nhầm giá trị lớn nhất trên đoạn $[-3;4]$ với giá trị lớn nhất trên toàn bộ $\mathbb{R}$.