Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước : (x-2)^3+(5-2x)^3=0

Lời giải chi tiết

Đặt $a=x-2$ và $b=5-2x$. Áp dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, ta được:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=0$.

Ta có $a+b=(x-2)+(5-2x)=3-x$.

Xét thừa số còn lại:

$a^2-ab+b^2=\dfrac{(a-b)^2+a^2+b^2}{2}\geq 0$.

Thừa số này chỉ bằng $0$ khi đồng thời $a=0$ và $b=0$. Nhưng $a=0$ thì $x=2$, khi đó $b=5-2\cdot2=1\ne0$. Vì vậy $a^2-ab+b^2>0$ với mọi $x$.

Do đó phương trình đã cho tương đương với $a+b=0$, hay $3-x=0$. Suy ra $x=3$.

Kiểm tra: Với $x=3$, vế trái bằng $(3-2)^3+(5-2\cdot3)^3=1^3+(-1)^3=0$. Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất.

Kiến thức cần nhớ

• Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
• Biểu thức $a^2-ab+b^2$ không âm và chỉ bằng $0$ khi $a=b=0$.
• Sau khi tìm được nghiệm, thay lại vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

Lỗi thường gặp

• Chỉ xét thừa số $a+b=0$ mà không giải thích vì sao thừa số $a^2-ab+b^2$ không thể bằng $0$.
• Tính sai dấu khi cộng $(x-2)+(5-2x)=3-x$.