Tam giác ABC có các cạnh 6, 8, 10 cm: chứng minh, tính góc và tìm PQ nhỏ nhất

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh tam giác vuông. Ta có $AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=BC^2$. Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Tính các góc và đường cao. Trong tam giác vuông $ABC$, $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=0{,}8$, nên $\widehat B\approx53{,}13^\circ$. Do $\widehat B+\widehat C=90^\circ$, suy ra $\widehat C\approx36{,}87^\circ$.

Tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách: $\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH$. Vì thế $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4{,}8$ cm.

c) Tìm vị trí của $M$. Vì $AB\perp AC$, $MP\perp AB$ và $MQ\perp AC$ nên $MP\parallel AC$, $MQ\parallel AB$. Khi $M$ nằm giữa $B$ và $C$, tứ giác $APMQ$ là hình chữ nhật, suy ra hai đường chéo $PQ=AM$. Đẳng thức này cũng đúng khi $M$ là $B$ hoặc $C$.

Trong tam giác vuông $AHM$, $AM\ge AH$; dấu bằng xảy ra khi $M=H$. Vậy $PQ=AM$ nhỏ nhất khi $M$ trùng chân đường cao $H$. Khi đó $PQ_{\min}=AH=4{,}8$ cm.

Kiến thức cần nhớ

• Định lí Pythagore đảo: nếu bình phương cạnh lớn nhất bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác vuông.
• Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền bằng sin của góc nhọn.
• Đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng là đoạn ngắn nhất nối điểm đó với đường thẳng.

Lỗi thường gặp

• Nhầm góc đối diện cạnh $8$ cm là góc $C$; cạnh $AC$ đối diện góc $B$.
• Chỉ tìm độ dài nhỏ nhất của $AM$ mà chưa chứng minh $PQ=AM$.