tìm m để pt x^2-4|x|-5=m có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)

Lời giải chi tiết

Đặt $t=|x|\ge 0$. Khi đó $x^2=t^2$, nên phương trình đã cho trở thành $t^2-4t-5=m$, hay $(t-2)^2=m+9$.

Mỗi nghiệm $t>0$ cho hai nghiệm phân biệt $x=\pm t$. Vì vậy, phương trình theo $x$ có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình theo $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi $m>-9$, hai nghiệm theo $t$ là $t_1=2-\sqrt{m+9}$ và $t_2=2+\sqrt{m+9}$. Điều kiện $t_1>0$ tương đương $\sqrt{m+9}<2$, tức $m<-5$. Do đó, điều kiện có bốn nghiệm phân biệt là $-9<m<-5$.

Trong hai nghiệm dương, chỉ có $t_1$ có thể thuộc $(0;1)$ vì $t_2>2$. Nghiệm $x$ thuộc $(0;1)$ khi và chỉ khi $0<t_1<1$. Kết hợp với $t_1>0$ đã có, ta cần $2-\sqrt{m+9}<1$, hay $\sqrt{m+9}>1$, tương đương $m>-8$.

Vậy giá trị cần tìm là $\boxed{-8<m<-5}$.

Kiến thức cần nhớ

• Đặt $t=|x|\ge 0$ để chuyển phương trình chứa $x^2$ và $|x|$ thành phương trình bậc hai theo $t$.
• Mỗi nghiệm $t>0$ tương ứng với hai nghiệm $x=\pm t$; nghiệm $t=0$ chỉ tương ứng với một nghiệm $x=0$.
• Với $x\in(0;1)$, ta có $|x|=x\in(0;1)$.

Lỗi thường gặp

• Tính nghiệm $t=0$ thành hai nghiệm phân biệt của phương trình theo $x$.
• Chỉ xét điều kiện có bốn nghiệm mà quên điều kiện một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.