Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB=9cm; HC=16cm a) Tính AB, AC, AH b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Tứ Giác ADHE là hì

Lời giải chi tiết

a) Tính $AB$, $AC$, $AH$.

Vì $H$ thuộc $BC$ nên $BC=BH+HC=9+16=25\,\text{cm}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$:

$AB^2=BH\cdot BC=9\cdot25=225$, suy ra $AB=15\,\text{cm}$.

$AC^2=CH\cdot BC=16\cdot25=400$, suy ra $AC=20\,\text{cm}$.

$AH^2=BH\cdot CH=9\cdot16=144$, suy ra $AH=12\,\text{cm}$.

b) Xác định tứ giác $ADHE$ và chứng minh đẳng thức.

Vì $HD\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $HD\parallel AC$, do đó $HD\parallel AE$. Tương tự, $HE\parallel AB$ nên $HE\parallel AD$. Tứ giác $ADHE$ có hai cặp cạnh đối song song và góc $DAE$ vuông, vì vậy $ADHE$ là hình chữ nhật.

Hai tam giác vuông $BDH$ và $BAH$ đồng dạng vì có góc tại $B$ chung. Suy ra $\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BH}{BA}$, hay $BD=\dfrac{BH^2}{AB}$. Vì $D$ thuộc $AB$, ta có:

$AB\cdot AD=AB(AB-BD)=AB^2-BH^2=BH\cdot BC-BH^2=BH\cdot CH$.

Tương tự, hai tam giác vuông $CEH$ và $CAH$ đồng dạng vì có góc tại $C$ chung. Do đó $CE=\dfrac{CH^2}{AC}$. Vì $E$ thuộc $AC$, ta có:

$AC\cdot AE=AC(AC-CE)=AC^2-CH^2=CH\cdot BC-CH^2=BH\cdot CH$.

Vậy $AC\cdot AE=AB\cdot AD=9\cdot16=144\,\text{cm}^2$.

c) Tính chu vi và diện tích $ADHE$.

Từ kết quả câu b, $AD=\dfrac{144}{15}=9{,}6\,\text{cm}$ và $AE=\dfrac{144}{20}=7{,}2\,\text{cm}$.

Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên chu vi là $2(AD+AE)=2(9{,}6+7{,}2)=33{,}6\,\text{cm}$; diện tích là $AD\cdot AE=9{,}6\cdot7{,}2=69{,}12\,\text{cm}^2$.

Kiến thức cần nhớ

• Trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền: $AB^2=BH\cdot BC$, $AC^2=CH\cdot BC$, $AH^2=BH\cdot CH$.
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• Chu vi hình chữ nhật bằng hai lần tổng hai cạnh kề; diện tích bằng tích hai cạnh kề.

Lỗi thường gặp

• Nhầm $BH$ hoặc $CH$ với toàn bộ cạnh huyền $BC$ khi áp dụng hệ thức lượng.
• Dùng $AH$ làm cạnh của hình chữ nhật $ADHE$, trong khi $AH$ là đường chéo.